Pruebas de acceso a facultades, escuelas técnicas superiores y colegios universitarios

Ejercicio A

Problema 1

Sea A = [ [1 , 1 , 1] , [1 , -1 , 1] , [1 , 1 , -1] ] y B = [ [1 , 1 , 1] , [1 , -1 , 1] , [1 , 1 , 1] ]. Calcular todas las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

1. A [ [x] , [y] , [z] ] = [ [0] , [0] , [0] ]
2. B [ [x] , [y] , [z] ] = [ [0] , [0] , [0] ]

Problema 2

Un concesionario de coches lanza una oferta especial vendiendo el modelo A a 1 millón de pesetas y el modelo B a 2 millones. El fabricante le impone las siguientes condicones:

1. Sólo puede vender en oferta especial 20 coches del modelo A y 10 del modelo B.
2. Debe vender tantas unidades del modelo A como del modelo B.

El concesionario sabe que para cubrir los gastos de la campaña los ingresos obtenidos deben ser al menos de 6 millones.

1. Calcular el mínimo número de coches que ha de vender para cubrir los gastos de la capaña.
2. Calcular los coches que ha de vender para maximizar sus ingresos.

Problema 3

Supongamos que x es la cantidad semanal fabricada de un producto y que la función f(x) = -2x + 16 es su precio. Entonces el ingreso semanal está dado por la función g(x) = x f(x).

1. Halla el ingreso semanal máximo.
2. En dos semanas sucesivas sucedió que aumentó la cantidad fabricada en la segunda semana, y el ingreso semanal pasó de 24 a 30. Averiguar las cantidades fabricadas en cada semana.

Problema 4

La tribu del león A la forman tres leonas embarazadas y dos leonas no embarazadas. La tribu del león B la forman una leona embarazada y cuatro leonas no embarazadas.

Una leona abandona la tribu del león A y pasa a la tribu del león B.

Entonces se elige al azar una de las leonas de la tribu aumentada del león B. Hallar razonadadmente la probabilidad de que la leona elegida esté embarazada.

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Ejercicio B

Problema 1

Resuelve la ecuación A X = B, siendo A = [ [2 , 3 , -1] , [3 , 2 , 3] , [1 , 5 , 2] ] , B = [ [1] , [2] , [2] ] y X el vector columna cuyas componentes son las incógnitas x, y y z.

Problema 2

La carga máxima que pueda transportar un camión es 12 toneladas y tiene que llevar dos materiales A y B a una obra en la que necesitan al menos 6 toneladas del material A y, además, que la cantidad de B supere a la mitad de la cantidad de material A

El camión cobra 3000 pesetas por cada tonelada de material A y 2000 pesetas por cada toneladad de material B. Averiguar cuántas toneladas de material A y cuántas toneladas de material B debe transportar parar maximizar su ganancia.

Problema 3

Si x representa los ingesos mensuales de un colectivo de familias en miles de pesetas y la función f(x) es el gasto en libros en función de los ingresos, se tiene que

f(x) = { 0,03x si 0 ≤ x ≤ 100 ; 0,05x si 100 < x ≤ 200 ; 0,07x + 3 si 200< x ≤ 500 }

1. Representar la gráfica de f(x)
2. Analizar que el gasto es sensiblemente diferente si el ingreso mensual es un poco inferior de doscientas mil pesetas, que si el ingreso mensual es un poco superior a doscientas mil pesetas.
3. Hallar la tasa de variación media de la función f(x) en cada uno de los intervalos [0 , 100], ]100 , 200], ]200 , 500].

Problema 4

Supongamos que la probabilidad de nacimiento de un varón es idéntica a la del nacimiento de una hembra. Hallar la probabilidad de que una familia con tres hijos tenga el doble número de hijos que de hijas.