Proves d'accés a facultats, escoles tècniques superiors i col·legis universitaris

Exercici A

Problema 1

Trobeu raonadament les equacions dels dos plans paral·lels al pla π d'equació 12x + 3y - 4z = 7 que disten 6 unitats de π.

Problema 2

El pes dels paquets de farina que produeix certa fàbrica segueix una distribució normal de mitjana 105 g i de desviació típica 5 g. Calculeu el percentatge de paquets amb pes superior a 112 g, explicant com s'ha obtingut aquest percentatge.

Si s'agafa a l'atzar un paquet entre els que pesen més de 112 g, quina és la probabilitat que pese més de 115 g? (Nota. N'hi ha prou amb dividir casos favorables entre casos possibles, o bé dividir percentatge de casos favorables entre percentatge de casos possibles.)

Problema 3

Amb la inversa de la matriu [ [2 , 3] , [4 , 2] ] resoleu { 2x + 3y = 8 ; 4x + 2y = 8 }.

Obteniu raonadament la matriu inversa d'una matriu A, quadrada i d'ordre 3, sabent que A²+ A = I, on I = [ [1 , 0 , 0] , [0 , 1 , 0] , [0 , 0 , 1] ]

Problema 4

Es divideix un filferro de 100 m de longitud en dos segments de longituds x i 100 - x. Amb el de longitud x es forma un triangle equilàter i amb l'altre segment es forma un quadrat. Siga f(x) la suma de les àrees del triangle i del quadrat.

1. Determineu el domini de la funció f; és a dir, els valors que pot prendre x.
2. Amb l'estudi de la derivada de f obteniu quan f és creixent i quan és decreixent.
3. Indiqueu raonadament per a quin valor de x s'obté que la suma de les àrees del triangle i del quadrat és mínima.

---

Exercici B

Problema 1

Siga f la funció definida per { f(x) = 4 si -3 ≤ x ≤ 3 ; f(x) = 7 - x si 3 < x ≤ 7 }

Justifiqueu si f és derivable o no en x = 3. Quin és el significat geomètric del resultat obtingut?

Problema 2

Calculeu el vector X = [ [x] , [y] , [z] ] que verifique AX + B = C, sent

A = [ [1 , 0 , 0] , [4 , 2 , 0] , [6 , 5 , 3] ] ; B = [ [3] , [7] , [2] ] i C = [ [4] , [8] , [9] ].

Problema 3

Tenim tres urnes cadascuna de les quals conté 2 boles roges i 3 de negres. S'extrau a l'atzar una bola de cada urna i s'anomena x al nombre de boles roges obtingudes. Calculeu la probabilitat que x siga major o igual que 1.

Si cada urna haguera contingut 5 boles roges i 3 de negres i s'haguera extret una bola de cada urna, quina hauria sigut la probabilitat que x haguera sigut major o igual que 1? Justifiqueu la diferència dels resultats obtinguts.

Problema 4

Obteniu les equacions de les rectes obtingudes en tallar cadascun dels plans π₁: x + y + z = 3, π₂: x - z = 0 i π₃: y - z = 0 amb el pla π₄: z = 0.

Aquests quatre plans limiten un tetràedre del qual s'obtindrà l'àrea de la cara situada al pla π₄ i l'altura sobre aquesta cara, i expliqueu el mètode utilitzat.